Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为根号3/2，且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为根号3/2，且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B
（1）求椭圆的方程
（2）求m的取值范围
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数

Answer 1

（1）设椭圆方程是x²/a²+y²/b²=1，（a＞b＞0）
带入c/a=√3/2，M（4,1），得到a²=20，b²=5
所有是x²/20+y²/5=1
（2）
这里求m的取值范围的基本思想是相切之间，所有联立椭圆与直线的方程，消去一个，然后用△＞0求解。
∵x²/20+y²/5=1
y=x+m
消去y得到
25x²+40mx+（20m²-100）=0
5x²+8mx+（4m²-20）=0
△＞0，
∴（8m）²-4*5*（4m²-20）＞0
m²＜25
所有-5＜m＜5.

追问

第三问怎么做，谢谢！

追答

不好意思，当时有事出去了~

Answer 2

第三问:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线与椭圆公式联立方程组，消去y得出一个关于x的式子，利用韦达定理写出x1+x2和x1x2，再利用M,A,B三个点的坐标，把MA和MB的斜率求出，要证明是相反数，则斜率相加等于0即证，通分以后把y1和y2利用直线解析式变成x和m的式子，化简合并过后代入x1+x2和x1x2，化简得到结果为0，即证明题目