Question

如图,在正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F是AD上一点,且DE=CF,ED、FC交于点G,连

接BG，BH⊥CG于H，连接DH 求证：DE-HG=EG 【两种方法证明】

Answer 1

证明：连接CE
因为ABCD是正方形
角EAD=角EBC=角FDC=90度AB=AD=BC=DC
因为E,F是AB,AD的中点
所以AE=BE=1/2AB
AF=FD=1/2AD
所以三角形ADE和三角形BCE全等(SAS)
所以角ADE=角BCE
角BEC=角AED
三角形AED和三角形DFC全等（SAS)
所以角ADE=角DCF
角AED=角DFC
因为AD平行BC
所以角DFC=角BCF
所以角AED=角BCG
所以B,E,G,C四点共圆
所以角DGH=角EBC=90度
角BEC=角BGC
所以角BGC=角BCG
所以BC=BG
所以角BGC=角BCG
所以AB=BG
所以据BAG=角AGB
所以三角形ABG和三角形CBG全等（AAS)
所以角ABG=角CBG=1/2角ABC=45度
因为BH平分角GBC
所以角CBG=2角CBH=45度
所以角CBH=22,5度
所以角HCD=22.5度
角HDC=22,5度
所以角GHD=角DCH+角CHD=45度
所以角GHD=角DHG=45度
所以GH=DG
因为DE=DG+EG
所以DE-HG=EG

追问

还有其他解法吗。

Answer 2

解：∵在正方形ABCD中，AD=CD，DF=AE，∠A=∠ADC=90°，
∴△EAD≌△FDC，∠ADE=∠DCF，DE⊥FC，
∴△EAD∽△FDG∽△DGC，FG/DG=DG/GC=1/2，
又BH⊥FC，∴∠HBC=∠GCD，BC=CD，DE=FC，
∴△HBC≌△GCD，CH=DG=GC/2=HG，
∴DE=EG+GD=EG+HG，即DE-HG=EG；
方法2：以D为原点，DC为x轴正方向，DA为y轴正方向建立坐标系，则D(0，0)，C(1，0)，B(1，1)，A(0，1)，F(0，1/2)，E(1/2，1)，G(1/5，2/5)，H(3/5，1/5)，
向量DE=(1/2，1)，向量HG=(-2/5，1/5)，向量EG=(-3/10，-3/5)，
∴│DE│-│HG│=√5/2-√5/5=3√5/10，
│HG│=√(9/100+9/25)=3√5/10，

∴DE-HG=EG。