Question

概率问题！！！

将n只球随机的放入n个盒子中去，一只盒子装一个球，若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，球1.至少有一个配对的概率。
这个问题困扰了我两天了，望高手赐教，答案我知道，我想要过程！

Answer 1

独立的看：第i个盒子能完成配对的概率：
第一个：1/n
第二个：(第一个盒子不选2号球)*(第二个盒子选2号球) ：(n-1)/n * (1/(n-1)) = 1/n
第i个：前面的盒子都不选i号球，第i个盒子选i号球：
[(n-1)/n] * [(n-2)/(n-1)] * [(n-3)/(n-2)] * ... * [(n-i)/(n-i+1)] * [1/(n-i)] = 1/n
所以，设Xi为第i个盒子能完成配对： P(Xi=1) = 1/n P(Xi=0) = (n-1)/n
所以，E(Xi) = 1/n * 1 + 0* (n-1)/n

由期望的性质： E(x) = E(x1)+E(X2)+...+E(Xn) = n* 1/n = 1

Answer 2

设Ai表示第i个球装入第i个盒子，i=1,2,3，...，n；
于是 P(至少有一个配对)
=P(A1+A2+...+An)
=Σ(i=1,n)*P(Ai)-Σ(1<=i<j<=n)*P(AiAj)+Σ(1<=i<j<k<=n)*P(AiAjAk)-...+(-1)^(n-1)*P(A1A2...An)
=1-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n-1)*1/n!
≈1-1/2!+1/3!-...+(-1)^(n-1)*1/n!+...
=1/e

Answer 3

我觉得是用贝叶斯公式计算，

设：A1表示”出租车是绿的”，A2表示“出租车是蓝的”，B表示“目击者认为是蓝车”

则：

所以这一题的实际意义是，即使目击者有一半以上的几率做出正确判断，但是由于蓝色车所占比重较小，实际上肇事车是绿色的可能性更大（1-41.37%）

进一步说，即使目击者的正确辨认率达到99%，但是肇事车是蓝车的概率依然不到一半（46%）

在进一步说，如果蓝色绿色汽车比例是1:1，这时按照目击者80%的正确率，肇事车是蓝色的概率也是80%