Question

已知函数f(x)=(1+a/x)e^x,其中a>0

①求函数f(x)的零点
②讨论f(x)在（-无穷，0）上的单调性
③在区间（-无穷，-a/2)上，f(x)是否存在最小值？若存在，求出此值。若不存在，说明理由

Answer 1

1 as x=-a, f(x)=0
2 (-无穷，-（a+根号(a平方+4a)）/2) 增
（-（a+根号(a平方+4a)），0） 减
3 不存在
在区间（-无穷，-a/2)上 f(x)先是增函数，后是减函数，又没端点，故没有最小值。

Answer 2

①令 f(x)=0，得(1+a/x)e^x=0，即 1+a/x=0，解得x=-a
即 f(x)的零点为x=-a
②f'(x)=(-a/x²)e^x+(1+a/x)e^x=(-a/x²+a/x+1)e^x=(x²+ax-a)(e^x)/x²
令 g(x)=x²+ax-a
因为a>0，所以 ⊿=a²+4a>0
g(x)=0有两个解（即f'(x)=0的解)为
x1=[-a-√(a²+4a)]/2，x2=[-a+√(a²+4a)]/2，且 x1<0<x2
f'(x)>0的解为 x>x2或x<x1，f'(x)<0的解为x1<x<x2，
所以 f(x)在(-∞，[-a-√(a²+4a)]/2 )上是增函数，在( [-a-√(a²+4a)]/2，0）上是减函数。
③由前面讨论可知，f(x)在(-∞，[-a-√(a²+4a)]/2 )是增，
在([-a-√(a²+4a)]/2，-a/2)是减函数，从而有极大值，无最小值。

Answer 3

复合函数求导，求的f(x)的导数为[(x^2+ax)e^x-a(e^x)]/x^2,
令f'(x)=0，即(x^2+ax)e^x=a(e^x)，即x^2+ax-a=0,

因为a^2+4a>0恒成立（a>0），所以求得方程的解为x1,x2，
因为定义域为x小于0，a^2+4a>a^2，所以方程的一解>0，舍去，
显然另一解（暂用x1代替）小于0，
当x属于（负无穷大，x1）时，f'(x)>0，f(x)为增函数。
当x属于（x1，0）时，f'(x)小于0，f(x)为减函数。
综上，f(x)的单调增区间为（负无穷大，x1），单调减区间为（x1，0）。