Question

复变函数环路或负无穷到正无穷积分什么时候用柯西什么时候用留数算？什么时候等于0

Answer 1

首先明确一点是，复变函数积分能用柯西积分公式或者留数计算的，都是闭曲线，而你说的负无穷到正无穷的积分其实是实函数的积分，就是高等数学里的广义积分，有些广义积分用高等数学的方法很难求出结果，但是利用复积分就很容易算，因此常构造出一条包含x轴在内的闭曲线，然后转化为求复积分去做。计算闭曲线的复变函数的积分，首先要看闭曲线内部有没有被积函数不解析的点，如果没有，积分直接等于0，如果有不解析的点，再看被积函数的形式，如果是f(z)/(z-z0)的形式或者通过简单的变形可以表示成这样形式的，就可以利用柯西积分公式。被积函数较复杂或奇点较多的话，一般考虑留数。实际上留数定理是柯西积分公式的特例，用柯西积分公式可以做的都可以用留数定理计算，只是有些情况下留数定理使用起来较麻烦。