Question

微分方程相关，知道特解求通解和其方程

Answer 1

题目不奇怪，习惯死套例题就说明你学得还不活。 只要搞清楚几个概念： (1)非齐次方程的两个特解之差，一定是对应齐次方程的特解。 那么Y1=y1-y3=e^(-x)，Y3=y2-y1=e^(-x)-e^(2x)就是对应齐次方程的两个特解。 (2)齐次方程的特解有线性性质，所以Y2=Y1-Y2=e^(2x)也是齐次方程的一个特解。 所以齐次方程的通解为C1*Y1+C1*Y2=C1*e^(-x)+C2*e^(2x). 说明特征根为 r1=-1，r2=2。特征方程为 r^2-r-2=0。 原齐次方程为 y''-y'-2y=0。 (3)非齐次方程的任一个特解减去齐次方程特解的线性组合，得到的函数仍然是非齐次方程的一个特解。 所以y3-(Y2-Y1)=x*e^x是非齐次方程的一个特解。 通解为y=C1*e^(-x)+C2*e^(2x)+x*e^x。 将y3=x*e^x代入y''-y'-2y=f(x)，可得f(x)=(1-2x)e^x。 所以原方程为y''-y'-2y=(1-2x)e^x。