Question

求一道高二数学题答案

椭圆的中心O在坐标原点，焦点在X轴上，离心率为根号3/2,且与直线x+y-1=0相交于M,N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆的方程？

Answer 1

离心率e=c/a=根号3/2 设a^2=4t c^2=3t b^2=t
设椭圆方程为
x^2/4t+y^2/t=1 x^2+4y^2=4t
x+y-1=0 x=1-y 代入上式
5y^2-2y+1-4t=0
y1y2=(1-4t)/5 y1+y2=2/5
x1x2=y1y2-(y1+y2)+1=(1-4t)/5+3/5
若以MN为直径的圆经过坐标原点，则x1x2+y1y2=0
所以(1-4t)/5+3/5-2/5=0
(1-4t)/5=-1/5
t=1/2
椭圆的方程 x^2/2+2y^2=1