Question

初二数学题:在△ABC中,∠A=60°。△ABC的角平分线BD、CE相交于点O。求证:BE+CD=BC

Answer 1

证明：在BC上取一点M，使BM=BF，连OM.
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°(三角形三个内角的和等于180°)
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=1/2*(∠ABC+∠ACB)=60°(角平分线将这个角分为两个相等的角)
∵∠EBC+∠ECB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=120°.
∴∠BOF=∠COE=60°.
∵BE，CF分别平分∠ABC，∠ACB
∴∠FBO=∠OBM，∠ECO=∠OCM(角平分线将这个角分为两个相等的角)
∵BF=BM，∠FBO=∠OBM，BO公用，
∴△BOF≌△BOM(两边及其夹角对应相等的两个三角形全等)
∴∠BOM=∠BOF=60°(全等三角形的对应角相等)
∵∠BOC=120°，
∴∠COM=60°.
∴∠COM=∠COE=60°.
∵∠COM=∠COE=60°，OC公用，∠ECO=∠OCM，
∴△COM≌△COE(两角及其夹边对应相等的两个三角形全等)
∴CM=CE(全等三角形的对应边相等)
∵BC=BM+CM，BM=BF，CM=CE，
∴BC=BF+CE.