如图,圆O的内接三角形ABC中,AB=AC,D是圆O上的一点,AD的延长线交BC的延长线于点P，
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第一个问题：求DC的长。
作直径AE，连结CE，再过D作DF⊥AE交AE于F，令AE与BC的交点为G。
∵AE是直径，∴AC⊥CE。
∴由勾股定理，有：CE＝√（AE^2－AC^2）＝√（AE^2－AB^2）＝√（25^2－20^2）＝15。
由AD＝15、CE＝15，得：AD＝CE，∴DC∥AE。
∵AE是直径，∴AB⊥BE。
由AB＝AC、AE＝AE、∠ABE＝∠ACE＝90°，得：△ABE≌△ACE，∴∠BAE＝∠CAE。
由AB＝AC、∠BAG＝∠CAG，得：AG⊥BC。
由FG⊥GC、FG∥DC、DF⊥FG，得：CDFG是矩形，∴DC＝FG。
∵CDFG是矩形，∴DF＝CG，又AD＝CE、∠AFD＝∠EGC＝90°，∴△ADF≌△CEG，
∴AF＝EG。
∵AC⊥CE、CG⊥AE，∴由射影定理，有：EG×AE＝CE^2，∴25EG＝15^2，∴EG＝9。
∴AF＝EG＝9。
∴FG＝AE－AF－EG＝25－9－9＝7，∴DC＝FG＝7。
第二个问题：求PC的长。
由勾股定理，有：CG＝√（CE^2－EG^2）＝√（15^2－9^2）＝12。
而AG＝AE－EG＝25－9＝16。
∵DC∥AG，∴△PDC∽△PAG，∴PC/PG＝DC/AG＝7/16，∴PC/（PC＋CG）＝7/16，
∴PC/CG＝7/（16－7）＝7/9，∴PC＝（7/9）CG＝（7/9）×12＝28/3。
作直径AE，连结CE，再过D作DF⊥AE交AE于F，令AE与BC的交点为G。
∵AE是直径，∴AC⊥CE。
∴由勾股定理，有：CE＝√（AE^2－AC^2）＝√（AE^2－AB^2）＝√（25^2－20^2）＝15。
由AD＝15、CE＝15，得：AD＝CE，∴DC∥AE。
∵AE是直径，∴AB⊥BE。
由AB＝AC、AE＝AE、∠ABE＝∠ACE＝90°，得：△ABE≌△ACE，∴∠BAE＝∠CAE。
由AB＝AC、∠BAG＝∠CAG，得：AG⊥BC。
由FG⊥GC、FG∥DC、DF⊥FG，得：CDFG是矩形，∴DC＝FG。
∵CDFG是矩形，∴DF＝CG，又AD＝CE、∠AFD＝∠EGC＝90°，∴△ADF≌△CEG，
∴AF＝EG。
∵AC⊥CE、CG⊥AE，∴由射影定理，有：EG×AE＝CE^2，∴25EG＝15^2，∴EG＝9。
∴AF＝EG＝9。
∴FG＝AE－AF－EG＝25－9－9＝7，∴DC＝FG＝7。
第二个问题：求PC的长。
由勾股定理，有：CG＝√（CE^2－EG^2）＝√（15^2－9^2）＝12。
而AG＝AE－EG＝25－9＝16。
∵DC∥AG，∴△PDC∽△PAG，∴PC/PG＝DC/AG＝7/16，∴PC/（PC＋CG）＝7/16，
∴PC/CG＝7/（16－7）＝7/9，∴PC＝（7/9）CG＝（7/9）×12＝28/3。
追问
有没有什么方法可以证明BD是直径呢。貌似25 15 20 成勾股数。
追答
这是肯定的。
∵DC∥AE、AD＝CE，∴AECD是等腰梯形，∴△ADE≌△ECA。
∵△ABE≌△ACE，∴△ABE≌△ADE，∴BE＝CE＝15，又AD＝15，∴AD＝BE，
∴AB∥DE。
由AB⊥BE、AB∥DE，得：DE⊥BE。
由AB⊥BE、DE⊥BE、AD⊥DE，得：ABED是矩形，∴BD是ABCD外接圆的直径。
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