Question

高中函数题。。

y=lnx+x^2的图像与y=3x-b的图像有3个交点,则实数b的取值范围
若x∈[1,正无穷),不等式(m-m^2)2^x+4^x+1>0恒成立，则实数m的取值范围 答案是是（1-根号11）/2到（1+根号11）/2
y=x是函数g(x)=kxe^x的图像的一条切线，求k的值
f(x)是定义在R上的奇函数。f(x)=ax+lnx(x＞0）
0 （x=0)
ax-ln(-x)(x＜0）
f(x)在区间（负无穷，-1）是单调减函数，求a的取值范围

现在这里谢过了！！！

Answer 1

(1)
y=lnx+x^2的图像与y=3x-b的图像有3个交点
也就是说lnx+x^2-3x+b=0有三个不同解
令φ(x)=lnx+x^2-3x+b (x>0)
令φ'(x)=(2x-1)(x-1)/x=0
解得x=1/2 x=1

φ(x)在(0,1/2),(1,+∞)单调增。φ(x)在(1/2,1)但调减
所以在x=1/2取极大值，x=1取极小值
若与x轴有3个交点，则
φ(1/2)>0 ln(1/2)+1/4-3/2+b>0
φ(1)<0 1-3+b<0
解得 5/4-1n(1/2)<b<2

(2)
∵x≥1
∴2^x≥2
令2^x=t (t≥2) 则4^x=(2^x)^2=t^2
(m-m^2)t+t^2+1>0 (t≥2)
(m-m^2)t>-(t^2+1)
(m-m^2)>-(t^2+1)/t
-(t^2+1)/t=-(t+1/t)≤-5/2
m-m^2>-5/2
m^2-m-5/2<0
解得(1-√11)/2<m<(1+√11)/2

(3)
设切点为x0
g'(x)=ke^x(1+x)
当x=x0，
g(x0)=kx0e^x0=x0
g'(x0)=ke^x0(1+x0)=1
x0=0
k=1

(4)
当x<-1时
f(x)=ax-ln(-x)
f'(x)=a-1/x<0 (x<-1)
a<1/x
a≤-1（取等于是因为x不等于-1，所以1/x取不到-1）