Question

改变二重积分∫(0到1)dy∫[(1-√(1-y^2)到1+√(1-y^2)]f(x,y)dx的顺序~详细过程，希望给个图~

Answer 1

0<y<1，1-√(1-y²)<x<1+√(1-y²)，重要的是画x=1-√(1-y²)与x=1+√(1-y²)这两条曲线
x=1-√(1-y²)化为：x-1=-√(1-y²)，说明x-1是负数，平方后得(x-1)²=1-y²，即(x-1)²+y²=1
是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，只取x-1为负数的部分（也就是左半个圆），
同理：x=1+√(1-y²)为右半个圆，因此x变化范围是在一个圆内，左半圆到右半圆。
由0<y<1，则只需上半圆。

综上，积分区域为：以(1,0)为圆心，1为半径的圆，只取上半圆
上半圆方程(x-1)²+y²=1可化为：y=√(1-(x-1)²)
因此先积y的结果是
∫ [-1,1]dx∫ [0,√(1-(x-1)²) ] f(x,y)dy

追问

答案为∫(0到2)dx∫(0到√2x-x^2)f(x,y)dx，求原因~

追答

对应该是[0,2]，我写错了。以(1,0)为圆心，1为半径的圆，x的范围就是0-->2.

追问

x=1+√(1-y^2)与x=1-√(1-y^2)变形之后不就是同一个函数吗？然后根据0<y<1确定图形不就可以了吗？没必要那样写吧！个人见解~

追答

你说的对，只是想给你说的细一些。