Question

在Rt三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC=2，以AC为一边，在三角形ABC外部作等腰直角

在Rt三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC=2，以AC为一边，在三角形ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为多少？（图自设）

Answer 1

解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，∵∠DAC=90°，且AD=AC，∴BD=BA+AD=1+1=2；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴∠DCE=45°，又∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°，∴∠CDE=45°，∴CE=DE=1×22=22，在Rt△BAC中，BC=2，∴BD=BE2+DE2=5；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，∴AD=DC=ACsin45°=1×22，又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠BCD=90°，又∵在Rt△ABC中，BC=2，∴BD=BC2+CD2=102，综上所述：BD的长等于2或5或102．