Question

若x<1,则代数式x^2-2x+3/x-1的最大值

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Answer 1

若x<1，则代数式(x²-2x+3)/(x-1)的最大值？

解：原式变形为：
(x²-2x+3)/(x-1)
=[(x²-2x+1)+2]/(x-1)
=[(x-1)²+2]/(x-1)
=(x-1)+2/(x-1)
由于x<1，x-1<0，所以利用基本不等式先求出下式的最小值：
-[(x-1)+2/(x-1)]·········①
=(1-x)+2/(1-x)
≥2√[(1-x)×2/(1-x)]=2√2
则：(x-1)+2/(x-1)≤-2√2
所以(x²-2x+3)/(x-1)的最大值为-2√2。

注：对于非负数a、b，有：(√a-√b)²≥0，展开即得：a+b≥2√ab，运用基本不等式的前提是a、b≥0，所以①式添加负号，从而变成非负数。