Question

求R^2=2cos2θ和R=1包围的图形面积

Answer 1

R^2=2cos2θ和R=1包围的图形面积=1.31

Answer 2

求ρ²=2cos2θ和ρ=1包围的图形面积
解：基于对称性，我们只需求其面积的1/4即可。
ρ=1的图像是以原点为圆心，1为半径的园；设其与心形线在第一象限内的交点为A;
令2cos2θ=1，得cos2θ=1/2，故2θ=π/3，θ=π/6，即A(1，π/6)；
【注：黑粗中括号内的数字是积分的上下限，前一数字是下限，后一数字是上限】
面积S=4{(1/2)×1²×(π/6)+【π/6，π/4】∫dθ【√(2cos2θ)，1】∫ρdρ}
=4{π/12+∫(ρ²/2)【√(2cos2θ)，1】dθ}
=4{π/12+【π/6，π/4】∫[(1/2)-cos2θ]dθ}
=4{π/12+[(1/2)θ-(1/2)sin2θ]【π/6，π/4】}
=4{π/12+[(π/8-1/2)-(π/12-√3/4)]
=4[π/8-(1/2)+(√3/4)]=(π/2)-2+√3

追问

谢谢你我懂了，但是我在想，如果只给了两个极坐标方程，F（r,θ)=0和G(r,θ)=0,有没有求他们包围面积的通法？
我不熟悉极坐标方程，比如R^2=2cos2θ,我不知道他的形状，我要怎么计算包围的面积？

追答

要计算包围图形的面积，一般必需知道图像，因为牵涉到积分限的选取问题。
对极坐标不熟悉，可把极坐标方程转化为直角坐标方程。
面积计算的方法有二：(1)。如果是某一简单几何图形，可用公式计算；
(2).用定积分计算。