Question

求r=√2sinθ与r^2=cos2θ所围成的图形的公共部分的面积

Answer 1

这是一组极坐标方程。r=3cosθ是以(1.5,0)为圆心，3为直径的圆；r=1+cosθ是帕斯卡蜗线的一种；r=√2sinθ是以(0,√2/2)为圆心，√2为直径的圆；r^2=cos2θ是双纽线的一种。
①为了计算“r=3cosθ与r=1+cosθ围成图形的公共部分面积”可先计算它们的交点：令3cosθ=1+cosθ，解得θ1=-π/3，θ2=π/3，在(-π/3，π/3)范围内显然3cosθ>1+cosθ,于是可得被积函数f=3cosθ-(1+cosθ)=2cosθ-1,(-π/3，π/3)实际上也是积分区间，由此得面积
s=(-π/3→π/3)∫(2cosθ-1)dθ
这积分请你自己计算。
②为了计算“r=√2sinθ与r^2=cos2θ的公共部分面积”，注意到两条曲线都关于y轴对称，而前者完全位于上半平面，故只需计算第一象限部分，再2倍即可。
由
(√2sinθ)²=cos2θ
解得
θ=π/6
而r^2=cos2θ=0
可得
θ=π/4，所以所围图形位于区间（π/6，π/4）内
s=2(π/6→π/4)∫|√2sinθ-√cos2θ|dθ
请注意该积分中有绝对值符号。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示