Question

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在三角形ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c=1,C=π/3.(1).若cos(θ+C)=3/5,0<θ<π，求cosθ; (2)若sinC+sin(A-B)=3sin2B,求三角形ABC的面积

Answer 1

1、
0<θ<π，,C=π/3，所以π/3<θ+C<4π/3
cos(θ+C)>0，所以π/3<θ+C<π/2
所以sin(θ+C)=√(1-cos²(θ+C))=4/5

cosθ=cos(θ+C-C)=cos(θ+C)cosC+sin(θ+C)sinC
=3/5*1/2+4/5*√3/2=(3+4√3)/10

2、sinC+sin(A-B)=2sin[(C+A-B)/2]cos[(C-A+B)/2]
=2sin[(π-2B)/2]cos[(π-2A)/2]
=2cosBsinA
=6sinBcosB
B=π/2或sinA=3sinB
当B=π/2时，为直角三角形，A=π/6，a=c*sinA/sinC=√3/3
S=ac/2=√3/6

当sinA=3sinB时，a=3b
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC=7b²，b=√7/7，a=3√7/7
S=1/2*ab*sinC=3√3/28

Answer 2

第一个问题：
∵0＜θ＜π、C＝π/3，∴π/3＜θ＋C＜π＋π/3，而cos（θ＋C）＝3/5＞0，
∴π/3＜θ＋C＜π/2，∴sin（θ＋C）＝√［1－（3/5）^2］＝4/5。
∴cosθ＝cos［（θ＋C）－C］＝cos（θ＋C）cos（π/3）＋sin（θ＋C）sin（π/3）
＝（3/5）×（1/2）＋（4/5）×（√3/2）＝3/10＋4√3/10＝（3＋4√3）/10。
即：cosθ＝（3＋4√3）/10。

第二个问题：
∵sinC＋sin（A－B）＝3sin2B，∴sin（A＋B）＋sin（A－B）＝3sin2B，
∴2sinAcosB＝6sinBcosB，∴（sinA－3sinB）cosB＝0，∴cosB＝0，或sinA＝3sinB。

一、当cosB＝0时，B＝π/2，又C＝π/3，c＝1，∴a＝1/√3。
　　∴△ABC的面积＝（1/2）ac＝（1/2）×（1/√3）×1＝√3/6。

二、当sinA＝3sinB时，结合正弦定理，容易得出：a＝3b。
　　由余弦定理，有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC，∴1＝9b^2＋b^2－3b^2，∴b^2＝1/7。
　　∴△ABC的面积＝（1/2）absinC＝（1/2）×3b^2sin（π/3）＝（1/2）×3×（1/7）×（√3/2）
　　　＝3√3/28。
综上所述，得：满足条件的△ABC的面积为√3/6，或3√3/28。

Answer 3

第一个问题：
∵0＜θ＜π、C＝π/3，∴π/3＜θ＋C＜π＋π/3，而cos（θ＋C）＝3/5＞0，
∴π/3＜θ＋C＜π/2，∴sin（θ＋C）＝√［1－（3/5）^2］＝4/5。
∴cosθ＝cos［（θ＋C）－C］＝cos（θ＋C）cos（π/3）＋sin（θ＋C）sin（π/3）
＝（3/5）×（1/2）＋（4/5）×（√3/2）＝3/10＋4√3/10＝（3＋4√3）/10。
即：cosθ＝（3＋4√3）/10。

第二个问题：
∵sinC＋sin（A－B）＝3sin2B，∴sin（A＋B）＋sin（A－B）＝3sin2B，
∴2sinAcosB＝6sinBcosB，∴（sinA－3sinB）cosB＝0，∴cosB＝0，或sinA＝3sinB。

一、当cosB＝0时，B＝π/2，又C＝π/3，c＝1，∴a＝1/2。
　　∴△ABC的面积＝（1/2）ac＝（1/2）×（1/2）×1＝1/4。

二、当sinA＝3sinB时，结合正弦定理，容易得出：a＝3b。
　　由余弦定理，有：c^2＝a^2＋b^2－2abcosC，∴1＝9b^2＋b^2－3b^2，∴b^2＝1/7。
　　∴△ABC的面积＝（1/2）absinC＝（1/2）×3b^2sin（π/3）＝（1/2）×3×（1/7）×（√3/2）
　　　＝3√3/28。
综上所述，得：满足条件的△ABC的面积为1/4，或3√3/28