Question

在等比数列｛an}中，公比q大于0小于1。且a3a5+2(a4a6)+a3a9=100，4是a4与a6的等比中项。求数列{an}的通...

在等比数列｛an}中，公比q大于0小于1。且a3a5+2(a4a6)+a3a9=100，4是a4与a6的等比中项。求数列{an}的通项公式。

Answer 1

设首项a1,公比是q
则a3a5+a3a9+2a4a6=a1^2q^6+a1^2q^10+2a1^2q^8=100
=[a1(q^3+q^5)]^2=100
所以a1(q^3+q^5)=10或-10,又an>0,故a1(q^3+q^5)=10
a4+a6=a1(q^3+q^5)=10
a4*a6=4^2=16
故解得a4=2,a6=8或a2=8,a6=2
又q属于(0,1),故有:a2=8,a6=2
q^4=a6/a2=1/4
q=根号2/2
a4=a1*q^3=a1*根号2/2*1/2=2
故a1=4根号2
即有an=a1q^(n-1)=4根号2*(根号2/2)^(n-1)=8*(根号2/2)^n

Answer 2

a3a5+2(a4a6)+a3a9=100变式(a4)^2+2(a4a6)+(a6)^2=100，有式子a4+a6=10，a4a6=16，(0<q<1)求得a4=8，a6=2。a4(q^2)=a6，q=1/2。a1(q^3)=a4=8，a1=64。所以an=64(1/2)^(n-1)=(1/2)(-6)(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-7)。

Answer 3

a3a5+2(a4a6)+a3a9=100,得:(a4+a6)2=100
故a4+a6=10 a4a6=16
因为0<q<1
所以a4=8.a6=2
所以q=1/2，a1=64
即an=(2)7-n

Answer 4

a3a5+2(a4a6)+a3a9=100得(a4+a6)²=100，a4a6=16,故a4=8.a6=2,所以q=1/2.所以an=2^(7-n)