Question

线性代数定理的相关证明问题。

题上的证明中‘不失一般性，可假设这n-r个参数是......（1,0，...，0）......,’，最后得出第二张图片的‘由于以它们为行的（n-r）*n阶矩阵的最后n-r个列所成的行列式等于1，得知X1，X2，...Xn-r线性无关’，但如果开始时给出的不是（1,0，...，0）。。。等n-r组值，那应该组成的（n-r）*n阶行列式就可能会等于0啊，那不就得不出X1，X2，...Xn-r线性无关得结论了吗？
它说‘事实上，根据齐次线性方程组的解向量......’(第二张图片倒数四行)，什么意思啊。看的不太明白。

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Answer 1

这里是在证明 基础解系含 n-r 个向量
那么就要找 n-r 个线性无关的解向量 并说明任一解可由它线性表示

第一步找 n-r 个线性无关的解向量
为了找线性无关的, 所以才那样取值. 线性相关的没什么用也太容易找(找一个解,然后k倍,都是解)

事实上, 对自由未知量的任一组取值, 可唯一确定 约束未知量的 (这由Crammer法则可知)
也就是 k1 到 kr 的取值是唯一确定的
即对任一解 未知量定了, 约束未知量也就定了

追问

‘线性相关的没什么用也太容易找’，嗯，不太容易找，但是一定能找到吗？万一不能找到呢？是不是还要有限制条件说明一定能找到？

追答

自由未知量任取一组数就得到一个解x
其余选 2x,3x,..... 这就得到一组线性相关的了

但这线性相关的解是没有用的
自由未知量分别取 (1,0,...,0), (0,1,...,0),... (0,0,...,1) 得到的解就是线性无关的

追问

追答

"不失一般性" 是指自由未知量取 xr+1,...,xn

取任意值不行, 但只要保证所取的值构成的向量 线性无关 就可以

不是保证 x1,..., xn-r 线性无关
是 xr+1,...,xn 的取值构成的向量 线性无关
比如 (1,0,0), (0,1,0),(0,0,1) 这是基本取法
(1,2,3), (0,1,2),(0,0,2) 这样也行
这里线性无关, 则添加上解出的约束未知量后仍线性无关(这是定理)

Answer 2

那啥、、、、、就是像多米诺骨牌那样第一个牌子倒了，后面会跟着倒、、、、、、、只要证明第一个数或则式子可以成立，后面所有的数都可以成立、、、就行了、、、、、、、、、、好吧打酱油路过

Answer 3

你的书上不是已经写得很明白了吗？克莱姆法则！