Question

如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=？

写明白点~写出怎么做的（方法）

Answer 1

◆本题最简单的方法是利用三角形外角的性质,如证法1.

证法1:设BE,BD分别交AC于F,G.(见左图)

∵∠A+∠D=∠BGF;

    ∠E+∠C=∠BFG.

∴(∠A+∠D)+(∠E+∠C)+∠B=∠BGF+∠BFG+∠B=180°.(三角形内角和为180度)

【若没学过三角形外角的性质,可采用如下方法来证.】

证法2:∵∠A+∠D+∠AGD=180°.(三角形内角和为180度)

∴∠A+∠D=180°-∠AGD=∠BGF;

同理可证:∠E+∠C=180°-∠EFC=∠BFG.

∴(∠A+∠D)+(∠E+∠C)+∠B=∠BGF+∠BFG+∠B=180°.

证法3:连接DC,设DB与EC交于M.(见右图)

∵∠E+∠B+∠EMB=∠MDC+∠MCD+∠DMC=180°;

                   ∠EMB=∠DMC.(对顶角相等)

∴∠E+∠B=∠MDC+∠MCD.(等式的性质)

∵∠A+∠ADM+(∠MDC+∠MCD)+∠ACM=180°.(三角形内角和定理)

∴∠A+∠ADM+∠E+∠B+∠ACM=180°.(等量代换)

Answer 2

设左上角的点为M左下角的点为N解；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°， 图①：∵∠A+∠D=∠BNM，∠E+∠C=∠BMN，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180 ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

追问

不明白

追答

看图

Answer 3

∠A+∠D=∠B附近的一个角（三角形外角等于不相邻的内角和）
∠C+∠E=∠B附近的另一个角（三角形外角等于不相邻的内角和）
这两个角和∠B在一个三角形内，三个角的和是180°。
,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

追问

要没有三角形外角的

追答

此题不用三角形外角是不可能的。

追问

反证法？

追答

不用反证法。
∵∠A+∠D=∠B附近的一个角（三角形外角等于不相邻的内角和）
∠C+∠E=∠B附近的另一个角（三角形外角等于不相邻的内角和）
∵ 这两个角和∠B在一个三角形内，三个角的和是180°。
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

Answer 4

AC交BD于F，G,H,I,J
∠A+∠D+∠AFD=180°
同理可得出5个式子
2（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）+540=180°*5
2（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=360
（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E）=180°

追问

要因为，所以

追答

我没用到外角

追问

没有∵和∴

Answer 5

设BE,BD分别交AC于F,G.
∵∠A+∠D=∠BGF;
∠E+∠C=∠BFG.
∴(∠A+∠D)+(∠E+∠C)+∠B=∠BGF+∠BFG+∠B=180