Question

下图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．

将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜1）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

Answer 1

解：由题意可知原函数解析式为y=（x-1）²-4

由题意二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折可知

函数图象方向改变，大小不变，

故新图象的解析式为y=-（x-1）²-4

∵y=x+b与此图象有两个公共点（可知一个是与原图像的交点，另一个是与新图像的交点）

∴  有   x+b=（x-1）²-4  ①

               x+b=-（x-1）²-4  ②

令①+②得2x+2b=-8，x=-4-b

令y=（x-1）²-4的y=0则0=（x-1）²-4，整理得x²-2x-3=0，解得x1=-3，x2=1

∵x=-4-b

∴b1=-1，b2=-3

∵-1＜1，-3＜3

∴b=-1或-3

Answer 2

（1）∵M为顶点(最低点)，∴函数解析式为 y=(x-1)² - 4
∵S△PAB=5/4S△MAB 且这两个三角形是同底的，
∴面积之比即为高之比，即P点纵坐标为5
∴ 将y = 5代入函数解析式
得P为（-2，5）（4，5）
（2）抛物线与x轴的交点为 y = 0
(x-1)² - 4=0，x=-1或3，两交点为(-1,0)(3,0)
将图形翻折后得到的函数为分段函数
当x<-1或x>3时 y=(x-1)² - 4
当-1<x<3时，y= - (x-1)² + 4
函数图像变为：\/\/ 形，是关于直线x=1对称的图象，最左右两边可以向上无限延伸
当y=x+b与对称轴右边两支相交时只有两个交点，-3<x<1
当y=x+b与最左右两支相交而不与中间相交时也只有两个交点，
- (x-1)² + 4=x+b 有唯一的解 x² -x+b-3=0，△ = 1-4(b-3)=0，b=13/4
∴当b>13/4时也有两个交点
∴当b>13/4或-3<b<1时直线与抛物线有两个交点