Question

如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．

如图是二次函数y=（x+m）2+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）． （1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）设直线AM与y轴交于点C，求△BCM的面积．
⑶ 在y轴上存在一点Q，使得△QMB周长最小，求出Q点坐标

Answer 1

(1)、∵二次函数Y=(x+m)^2+k的图像，其顶点坐标为M（1，-4）
∴m=-1,k=-4
函数的解析式是：Y=（x-1)²-4。
当y=0时，（x-1)²-4=0
即：x²-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=-1,x2=3
所以：A点的坐标是（-1，0）；B点的坐标是（3,0）。

（2）S△MAB=1/2×|3-（-1）|×|-4|=8
S△PAB=5/4S△MAB=5/4×8=10
△PAB以AB为底的高=10×2÷|3-（-1）|=5
所以：（x-1)²-4=5
即：x²-2x-8=0
（x+2)(x-4)=0
x3=-2,x4=4
那么：P点在（-2,5）或者（4,5）时，S△PAB=5/4S△MAB。

（3）y=x+b经过B点(4,0)时，4+b=0,b=-4,与图像有一个交点；
y=x+b经过A(-1,0)点时，-1+b=0,b=1,与图像有三个交点；
y=x+b经过M'(1,4)点时，1+b=4,b=3,与图像有三个交点；
所以：当直线y=x+b(b<1)与此图像有两个公共点时，b的取值范围是-4<b<1或者b>3。