Question

如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,在BC边上取M.N两点,使∠MAN=45°,试判断以线段BM，MN、NC为边的三角形形

Answer 1

把△ABM逆时针旋转90度，得△ACP，连结PN，
则△ABM≌△APC，
∴AP=AM，
BM=CP，
〈ACP=〈ABC=45°，
AB=AC，
AN=AN，
〈NAP=90°-〈MAN=90°-45°=45°，
∴〈MAN=〈PAN=45°，
∴△MAN≌△PAN，（SAS），
∴MN=NP，
∴△PNC就是以BM、MN、NC为边的△，
〈NCP=〈ACP+〈ACB=45°+45°=90°，
∴△NCP为RT△，
所以以BM、MN、NC为边的三角形为直角三角形。

Answer 2

将ΔABM以A为旋转中心逆时针旋转90°到ΔACM’处，如图所示
则可证ΔABM≌ΔACM’
可证ΔAMN≌ΔAM’N
∴MN=M’N
∵∠BAC=90°
∴∠B+∠5=90°
∵∠B=∠4
∴∠4+∠5=90°
即∠M’CM=90°
依勾股定理
M'C方+CN方=M'N方
∵M’C=MB,M’N=MN
∴MB方+CN方=MN方

Answer 3

MN²＝BM²+CN²
证明：过点B作BG⊥BC（G与A在BC的同一侧），取BG＝CN，连接AG、MG
∵AB＝AC，∠BAC＝90
∴∠ABC＝∠C＝45
∵BG⊥BC
∴∠GBC＝90
∴∠ABG＝∠GBC-∠ABC＝45，MG²＝BM²+BG²
∴∠ABG＝∠C
∵BG＝CN
∴△ABG≌△ACN （SAS）
∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN
∵∠MAN＝45
∴∠BAM+∠CAN＝∠BAC-∠MAN＝45
∴∠MAG＝∠BAM+∠BAG＝∠BAM+∠CAN＝45
∴∠MAG＝∠MAN
∵AM＝AM
∴△MAN≌△MAG （SAS）
∴MG＝MN
∴MN²＝BM²+CN²