Question

已知Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8,怎么作因式分解？请说明为什么能这样分解，我不会分解啊

Answer 1

已知Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8,
一元n次多项式，重点要会综合除法，用试根法解，设最高项系数为n， 常数项为m，那么可能的根有正负p/q , 这里，p=m的所有因数， q=n 的所有因数。（这是原理）

本题中最高项系数是n=1， 常数项是m= -8，可能的根有 正负1； 正负2；正负4；正负8。
Q(2)=0, Q(-2)=0, 则有因式（x-2），（x+2）, 用Q(x) 除 （x^2-4）得余式 Q1(x)= x^3+x^2-x+2,
对Q1(x) 再试根正负2，Q1(-2)=0, 有因式（x+2），用Q1(x) 除 （x+2），得 Q2(x)=x^2-x+1, 实数范围内不能再分解，到此为止，所以
Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8 = (x+2)^2(x-2)(x^2-x+1)
如果要在复数域上分解，则再解一个方程 x^2-x+1=0

Answer 2

Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8
=(x^5-5x^3+4x)+(x^4-2x^2-8)
=x(x^2-4)(x^2-1)+(x^2-4)(x^2+2)
=(x^2-4)(x^3+x^2-x+2)
=(x^2-4)((x^3+2x^2)-(x^2+x-2))
=(x^2-4)(x+2)(x^2-x+1)
=(x+2)^2(x-2)(x^2-x+1)(实数范围）
=(x+2)^2(x-2)(x-(1+√3i)/2)(x-(1+√3i)/2)(复数范围)

Answer 3

Q(x)=x^5+x^4-5x^3-2x^2+4x-8
=(x^5-5x^3+4x)+(x^4-2x^2-8)
=x(x^2-4)(x^2-1)+(x^2-4)(x^2+2)
=(x^2-4)(x^3+x^2-x+2)
=(x^2-4)((x^3+2x^2)-(x^2+x-2))
=(x^2-4)(x+2)(x^2-x+1)
)