Question

已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点

已知函数y=mx2-6x+1（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
（2）若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．

Answer 1

解：⑴当x=0时，y=1．
所以不论为何值，函数的图象经过轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当时，函数的图象与轴只有一个交点；
②当时，若函数的图象与轴只有一个交点，则方程有两个相等的实数根，所以，．
综上，若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为0或9．

【考点】一,二次函数, 二次函数与一元二次方程的关系.
【分析】⑴由于二次函数的常数项为1, 故x=0时，得证.
⑵考虑一次函数和二次函数两种情况. 函数为一次函数, 与X轴有一个交点. 函数为二次函数, 由函数y=f(x) 与X轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程f(x)=0有两个相等的实数根, 即根的判别式等于0, 从而求解. 也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为0求解, 即.

Answer 2

1）证明：令x=0得：y=1
所以不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点（0，1）.
2）该函数的图象与x轴只有一个交点
即相当于方程mx2-6x+1=0，有两个相等的实数根，
所以△=36-4m=0
解得：m=9

Answer 3

解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）2-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

Answer 4

解：（1）当x=0时，y=1．
所以不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；

（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）2-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．

Answer 5

分析：（1）根据解析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．
　　（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；
　　②当函数为二次函数时，利用根与系数的关系解答．
　　解答：解：（1）当x=0时，y=1．
　　所以不论m为何值，函数y=mx2﹣6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
　　（2）①当m=0时，函数y=﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点；
　　②当m≠0时，若函数y=mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x+1=0有两个相等的实数根，
　　所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．
　　综上，若函数y=mx﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．