Question

已知点p是y=lnx的图像上一点，在点p处切线为l1,l1交x轴于点M，过点p做l1的垂线l2,

l2交x轴于点N，MN的中点为Q，则Q的横坐标的最大值为

Answer 1

根据题意，设N（x。,0）、P（x。，ln x。）

y=ln x的导数为：y‘=1/x
则p点切线的斜率为：1/x。
∴ 在p点处切线的方程为：
（y-ln x。）/（x-x。）=1/x。
令切线方程y=0，求得切线与x轴交点M（x。-x。lnx。，0）
又Q为MN重点，则Q点横坐标=1/2 （x。+x。-x。lnx。）
∴ Q点坐标（x。-1/2 x。lnx。，0)
记Q点横坐标为u，则u=x。-1/2 x。lnx。
对u求导，得：u’=1-（lnx。+1）/2 =(1-lnx。）/2
令u'=0，解得：x。=e
当x。<e时，u'>0，u单调递增；
当x。>e时，u'<0，u单调递减。
可知u在x。=e时取得极大值，即最大值。
代入x。=e，得：u=e/2
∴ Q点横坐标最大值为e/2。

追问

不对哦~答案是（e的平方+1）/2e

追答

哦，看错了，我以为过p点作x轴的垂线L2。
改正一下：
设P点坐标（x。，lnx。）
y=ln x的导数为：y‘=1/x ；则p点切线的斜率为：1/x。
∴ 在p点处切线L1的方程为：（y-ln x。）/（x-x。）=1/x。
令切线L1方程y=0，求得切线与x轴交点M（x。-x。lnx。，0）

若记L1斜率为K1，L2斜率为K2。
∵ L2垂直于L1
∴K1 x K2=-1，则K2= -x。
∴L2方程：（y-ln x。）/（x-x。）= -x。
令y=0，解得N点坐标：N（x。+ lnx。/x。，0）
∴ M、N中点Q的横坐标为：（2x。-x。lnx。+ lnx。/x。)/2
令u=（2x。-x。lnx。+ lnx。/x。)/2
u的导数为：u‘=1/2（1-lnx。）（1+ 1/x。²）
令u'=0，解得：x。=e
当00，u单调递增；
当x。>e时，u'<0，u单调递减。
可知u在x。=e时取得极大值，即最大值。
代入x。=e，得：u=(e+1/e)/2=(e²+1）/2e