Question

看看这道高等代数二次型证明题是不是 有毛病？

看看这道高等代数二次型证明题是不是 有毛病？ 证明：一个实二次型可以分解为两个实 系数的一次齐次多项式的乘积的充要条 件为：它的秩为2且符号差为0或者秩为 1。 我一看就这样作：设f(x1,x2,…,xn)=(a1x 1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn ),相乘发现矩阵为 [a1b1 a1b2 …a1bn| a2b1 a2b2 …a2bn| …… | anb1 anb2…anbn].明显它的每列都是 列向量(a1,a2,……,an)的倍数，所以秩 为1呀，我看答案都整得好复杂，秩为2 怎么得的，我这个方法哪里有问题呀， 这道题是不是漏了什么条件呀

Answer 1

你的问题出在你写的那个矩阵一般不是对称阵,
但在讨论二次型对应的矩阵时是要求为对称阵的.
应该把i, j位置改为(ai·bj+aj·bi)/2, 这样秩就不一定为1了.