Question

已知数列｛an｝中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=(n+1)/2an+1（n∈N*）

Answer 1

1.
n≥2时，
a1+2a2+3a3+...+nan=[(n+1)/2]a(n+1) (1)
a1+2a2+3a3+...+(n-1)a(n-1)=(n/2)an (2)
(1)-(2)
nan=[(n+1)/2]a(n+1)-(n/2)an
(n+1)a(n+1)=3nan
[(n+1)a(n+1)]/(nan)=3，为定值
a1×1=1×1=1，数列{nan}是以1为首项，3为公比的等比数列
nan=1×3^(n-1)=3^(n-1)
an=3^(n-1)/n
n=1时，a1=1/1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=3^(n-1)/n
2.
n^2·an=n^2·[3^(n-1)/n]=n·3^(n-1)
Tn=1×1+2×3+3×3²+...+n×3^(n-1)
3Tn=1×3+2×3²+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3ⁿ
Tn-3Tn=-2Tn=1+3+...+3^(n-1)-n×3ⁿ
=1×(3ⁿ-1)/(3-1) -n×3ⁿ
=[(1-2n)×3ⁿ-1]/2
Tn=[(2n-1)×3ⁿ +1]/4
3.
[a(n+1)/(n+2)]/[an/(n+1)]

=[3ⁿ/(n+1)(n+2)]/[3^(n-1)/n(n+1)]
=3n/(n+2)
n≥1 n/(n+2)≤1/3，当且仅当n=1时取等号
3n/(n+2)≤1，当且仅当n=1时取等号
即对数列{an/(n+1)}， a1/2=a2/3，当n≥2时，{an/(n+1)}单调递减
a1/2=1/2
要不等式an≤(n+1)λ对任意正整数n恒成立，即an/(n+1)≤λ对任意正整数n恒成立，只需当an/(n+1)取最大值时不等式成立。
λ≥1/2，λ的最小值为1/2

Answer 2

a(1)=1,
a(1)+2a(2)+...+na(n) = (n+1)a(n+1)/2, a(1) = 2a(2)/2, a(2)=1.
a(1)+2a(2)+...+na(n)+(n+1)a(n+1) = (n+2)a(n+2)/2 = (n+1)a(n+1)/2 + (n+1)a(n+1)=3(n+1)a(n+1)/2,

(n+2)a(n+2) = 3(n+1)a(n+1),
{(n+1)a(n+1)}是首项为2a(2)=2, 公比为3的等比数列。

(n+1)a(n+1) = 2*3^(n-1) = (2/9)3^(n+1)
a(n+1) = (2/9)3^(n+1)/(n+1),

{a(n)}的通项公式为:
a(1)=1,
n>=2时，a(n) = (2/9)3^n/n = (2*3^n)/(9n)

b(n) = n^2a(n),
b(1) = a(1)=1,
n>=2时，b(n)=(2n/9)*3^n = 2n*3^(n-2),

t(1)=b(1)=1,
n>=2时，
t(n) = b(1)+b(2)+b(3)+...+b(n-1)+b(n)
= 1 + 2*2*1 + 2*3*3 + ... + 2(n-1)*3^(n-3) + 2n*3^(n-2),
3t(n) = 3 + 2*2*3 + 2*3*3^2 + ... + 2(n-1)*3^(n-2) + 2n*3^(n-1),

2t(n) = 3t(n)- t(n) = 2 - 2*2 - 2*3 - ... - 2*3^(n-2) + 2n*3^(n-1)
= 2n*3^(n-1) - 2*1 - 2*3 - ... - 2*3^(n-2)
= 2n*3^(n-1) - 2[1+3+...+3^(n-2)]
= 2n*3^(n-1) - 2[3^(n-1)-1]/(3-1)
= 2n*3^(n-1) - 2[3^(n-1)-1]/2,

t(n) = n*3^(n-1) - [3^(n-1)-1]/2 = [(2n-1)*3^(n-1) + 1]/2.

t(1)=1,
n>=2时，t(n) = [(2n-1)*3^(n-1) + 1]/2.

c(n) = a(n)/(n+1),
c(1) = a(1)/2 = 1/2.
n>=2时，c(n) = (2/9)3^n/[n(n+1)] >0.
c(n+1) = (2/9)3^(n+1)/[(n+1)(n+2)],

c(n+1)/c(n) = 3n/(n+2) = (n+2-2+2n)/(n+2) = 1 + 2(n-1)/(n+2)>1.

n>=2时，c(n+1)>c(n), {c(n),n>=2}单调递增 。c(n)>=c(2)=(2/9)3^2/[2*3] = 1/3.
c(1)=1/2>1/3.
因此，Lamda 的最小值=1/3.