Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 = 1 4 ，且2S n =2S n-1 +2a n-1 +1（n≥2，n∈N*）

已知数列{a n }的前n项和为S n ， a 1 = 1 4 ，且2S n =2S n-1 +2a n-1 +1（n≥2，n∈N*）．数列{b n }满足 b 1 = 3 4 ，且3b n -b n-1 =n（n≥2，n∈N * ）．（Ⅰ）求证：数列{a n }为等差数列；（Ⅱ）求证：数列{b n -a n }为等比数列；（Ⅲ）求数列{b n }的通项公式以及前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵2S n =2S n-1 +2a n-1 +1（n≥2，n∈N*）， ∴当n≥2时，2a n =2a n-1 +1， 可得 a n - a n-1 = 1 2 ． ∴数列{a n }为等差数列．（4分） （Ⅱ）证明：∵{a n }为等差数列，公差 d= 1 2 ， ∴ a n = a 1 +(n-1)× 1 2 = 1 2 n- 1 4 . （5分） 又3b n -b n-1 =n（n≥2）， ∴ b n = 1 3 b n-1 + 1 3 n(n≥2) ， ∴ b n - a n = 1 3 b n-1 + 1 3 n- 1 2 n+ 1 4 = 1 3 b n-1 - 1 6 n+ 1 4 = 1 3 ( b n-1 - 1 2 n+ 3 4 ) = 1 3 [ b n-1 - 1 2 (n-1)+ 1 4 ] = 1 3 ( b n-1 - a n-1 ). （8分） 又 b 1 - a 1 = 1 2 ≠0 ， ∴对n∈N*，b n -a n ≠0，得 b n - a n b n-1 - a n-1 = 1 3   (n≥2) ． ∴数列{b n -a n }是首项为 1 2 公比为 1 3 等比数列．（9分） （Ⅲ）由（Ⅱ）得 b n - a n = 1 2 ?( 1 3 ) n-1 ， ∴ b   n = n 2 - 1 4 + 1 2 ?( 1 3 ) n-1  (n∈N*) ．（11分） ∵ b 1 - a 1 + b 2 - a 2 ++ b n - a n = 1 2 [1- ( 1 3 ) n ] 1- 1 3 ， ∴ b 1 + b 2 ++ b n -( a 1 + a 2 ++ a n )= 3 4 [1-( 1 3 ) n ] ， ∴ T n - n 2 4 = 3 4 [1-( 1 3 ) n ] ． ∴ T n = n 2 4 + 3 4 [1-( 1 3 ) n ]  (n∈N*) ．（14分）