Question

如图，已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设

如图，已知抛物线C：y 2 =2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），且|y 1 -y 2 |=a（a为正常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线C于点D，连接AD、BD得到△ABD．（i）求实数a，b，k满足的等量关系；（ii）△ABD的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）依题意：4 + 1 2 p=5 ，解得p=2． ∴抛物线方程为y 2 =4x． （Ⅱ）（i）由方程组 y=kx+b y 2 =4x 消去x得：ky 2 -4y+4b=0．（※） 依题意可知：k≠0． 由已知得y 1 +y 2 = 4 k ，y 1 y 2 = 4b k ． 由|y 1 -y 2 |=a，得 ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 = a 2 依题意： 4+ 1 2 p=5 ，解得p=2． ∴抛物线方程为y 2 =4x． （Ⅱ）（i）由方程组 y=kx+b y 2 =4x 消去x得：ky 2 -4y+4b=0．（※） 依题意可知：k≠0． 由已知得y 1 +y 2 = 4 k ，y 1 y 2 = 4b k 由|y 1 -y 2 |=a，得 ( y 1 + y 2 ) 2 -4 y 1 y 2 = a 2 ，即 16 k 2 - 16b k = a 2 ，整理得16-16kb=（ak） 2 ． 所以（ak） 2 =16（1-kb） （ii）由（i）知AB中点M（ 2-bk k 2 ， 2 k ），所以点D（ 1 k 2 ， 2 k ）， 依题意知 S △ABD = 1 2 DM?| y 1 - y 2 | = 1 2 ? |1-bk| k 2 ?a 又因为方程（※）中判别式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0． 所以 S △ABD = 1 2 × 1-kb k 2 a ，由（Ⅱ）可知1-kb= (ak ) 2 16 ， 所以 S △ABD = 1 2 × a 2 16 ×a= a 3 32 ． 又a为常数，故△ABD的面积为定值．