Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1．（1）求抛物线C的方程；（2）若

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1．（1）求抛物线C的方程；（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程；（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积163后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163，求所有侧面面积之和的最小值”．现有正确命题：过点A(?p2，0)的直线交抛物线C：y2=2px（p＞0）于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F．试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

Answer 1

（1）由已知及抛物线的定义可得：

p

2

=1，即p=2，所以抛物线C的方程为：y²=4x（4分）
（2）设N(

t2

4

，?t)（t＞0），则M（t²，2t），F（1，0）．
因为M、F、N共线，则有k_FM=k_NF，（6分）
所以

?t

1 4 t2?1

＝

2t

t2?1

，解得t＝

2

，（8分）
所以k＝

2 2

2?1

＝2

2

，（10分）
因而，直线MN的方程是y＝2

2

(x?1)．（11分）
（3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，
设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(?

p

2

，0)．（13分）
证明：设过F的直线为y=k（x?

p

2

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则R（x₁，-y₁）
由

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