Question

如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：

如图所示，点E、F分别为正方形ABCD边AB、BC的中点，DF、CE交于点M，CE的延长线交DA的延长线于G，试探索：（1）DF与CE的位置关系；（2）MA与DG的大小关系．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠DCF=90°．
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EB=FC．
∴△EBC≌△FCD（SAS）．
∴∠ECB=∠FDC（全等三角形的对应角相等）．
∵∠FDC+∠DFC=90°，
∴∠ECB+∠DFC=90°．
∴∠CMF=90°（三角形内角和定理）．
∴DF⊥CE（垂直定义）．

（2）在△AEG和△BEC中，
∵∠GAE=∠B=90°，AE=BE，∠GEA=∠CEB，
∴△GAE≌△CBE（ASA）．
∴GA=CB（全等三角形的对应边相等）．
∵正方形ABCD中，CB=AD，
∴GA=AD．
∵DF⊥CG，∴MA=

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DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．