Question

过抛物线x=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,A,B在轴上的正射影分别为D,C,

过抛物线x=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A,B两点,A,B在轴上的正射影分别为D,C.若梯形ABCD的面积为12根号2,则P为多少? 写下计算过程 谢谢了！

Answer 1

题目没有表达清楚啊！我估计题目是这样的：
过抛物线x^2=2py的焦点作斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点。A、B在x轴上的正射影分别为D、C。若梯形ABCD的面积为12√2。则P为多少?

若是这样，则方法如下：
由抛物线方程x^2＝2py，得抛物线的焦点坐标为（0，p/2），又AB过焦点，且斜率为1，
∴直线AB的方程为：y＝x＋p/2。
∴可令A、B的坐标分别为（m，m＋p/2）、（n，n＋p/2）。

联立：y＝x＋p/2、x^2＝2py，消去y，得：x^2＝2p（x＋p/2）＝2px＋p^2，
∴x^2－2px－p^2＝0。
显然，m、n是方程x^2－2px－p^2＝0的两根，∴由韦达定理，有：m＋n＝2p、mn＝－p^2。

由A（m，m＋p/2）、B（n，n＋p/2），得：
｜AD｜＝｜m＋p/2｜、｜BC｜＝｜n＋p/2｜、｜CD｜＝｜m－n｜。
很明显，A、B同在x轴的上方或下方，∴A、B的纵坐标同为正数，或同为负数，
∴｜AD｜＋｜BD｜＝｜m＋p/2＋n＋p/2｜＝｜2p＋p/2＋p/2｜＝3｜p｜。
∴梯形ABCD的面积
＝（1/2）（｜AD｜＋｜BD｜）｜CD｜＝（1/2）×3｜p｜｜m－n｜
＝（3/2）｜p｜√［（m＋n）^2－4mn］＝（3/2）｜p｜√［（2p）^2－4（－p^2）］
＝（3/2）｜p｜×2√2｜p｜＝3√2p^2。
而梯形ABCD的面积＝12√2，∴3√2p^2＝12√2，∴p^2＝4，∴p＝2，或p＝－2。

注：若原题不是我所猜测的那样，则请你补充说明。