Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点． (1)求证：B

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．

(1)求证：BC1∥平面CA1D；
(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=求三棱锥B1-A1DC的体积．

Answer 1

试题分析：证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE
因为四边形AA1C1C是矩形，知E为AC1的中点
又D是AB的中点，得到DE∥BC1，
从而可得BC1∥面CA1.
证明（2）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，
由AA1⊥面ABC，得AA1⊥CD，
从而CD⊥面AA1B1B，进一步得平面CA1D⊥平面AA1B1B.
（3）利用，可求得体积.
试题解析：证明（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE
因为四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点
又D是AB的中点，DE∥BC1，
又DE面CA1D，BC1面CA1D，BC1∥面CA1 (4分)
证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA1⊥面ABC，CD面ABC，AA1⊥CD，
AA1∩AB=A，CD⊥面AA1B1B，CD面CA1D，
平面CA1D⊥平面AA1B1B (8分)

（3）解：,则（2）知CD⊥面ABB1B，所以高就是CD=，BD=1，BB1=，所以A1D=B1D=A1B1=2,, (12分)