Question

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC=BC，点D是AB的中点．（Ⅰ）求证：BC1∥平面CA1D；（Ⅱ）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=3，求三棱锥B1-A1DC的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：连接AC₁交A₁C于点E，连接DE
因为四边形AA₁C₁C是矩形，则E为AC₁的中点
又D是AB的中点，DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D，BC₁?面CA₁D，
所以BC₁∥面CA₁D；
（2）解：AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA₁⊥面ABC，CD?面ABC，AA₁⊥CD，
AA₁∩AB=A，CD⊥面AA₁B₁B，CD?面CA₁D，
平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B所以CD是三棱锥B₁-A₁DC的高，
又S△A1B1D=

1

2

AB×

3

＝

3

，
所以VB1?A1DC＝VC?A1B1D=

1

3

S△A1B1D×AD=

1

3

×

3

×

3

=1；