Question

已知函数f（x）=lnx﹣a 2 x 2 +ax（a≥0）．（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；（2）若函数f（x

已知函数f（x）=lnx﹣a 2 x 2 +ax（a≥0）．（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x 2 +x，其定义域是（0，+∞） ∴        令f′（x）=0，即  =0，解得  或x=1． ∵x＞0， ∴  舍去． 当0＜x＜1时，f′（x）＞0； 当x＞1时，f′（x）＜0． ∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减 ∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1﹣12+1=0． 当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0． ∴函数f（x）只有一个零点．           （2）显然函数f（x）=lnx﹣a 2 x 2 +ax的定义域为是（0，+∞） ∴  =  1当a=0时，  ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意    2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax﹣1）≥0（x＞0），即  此时f（x）的单调递减区间为[  ，+∞）． 依题意，得  ，解之得a≥1．   综上，实数a的取值范围是[1，+∞） 法二： ①当a=0时，  ，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意 ②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数， 只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立， ∵x＞0，∴只要2a 2 x 2 ﹣ax﹣1≥0，且a＞0时恒成立， ∴  解得a≥1 综上，实数a的取值范围是[1，+∞）