Question

已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1?a2?a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则

已知数列{an}满足：an=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使a1?a2?a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则区间[1，2013]内所有的企盼数的和为（　　）A．1001B．2026C．2030D．2048

Answer 1

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

，（n∈N^*），
∴a₁?a₂?a₃…a_k=

log23

log22

?

log24

log23

?

log25

log24

…

log2(k+2)

log2k

=log₂（k+2），
又∵a₁?a₂?a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2013]，∴1≤2ⁿ-2≤2013，∴取2≤n≤10；
∴区间[1，2013]内所有的企盼数的和为：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22?211

1?2

-2×9=2026；
故选：B．