Question

已知数列an满足an=log(n+1)(n+2),n∈ N:,我们把使a1·a2·…·ak为整数的数k叫希望数，则区间【1，2012】

已知数列an满足an=log(n+1)(n+2),n∈ N:,我们把使a1·a2·…·ak为整数的数k叫希望数，则区间【1，2012】内的和M是多少

Answer 1

解：由对数换底公式得an=log(n+1)（n+2）=lg(n+2)/lg(n+1),所以a1*a2*……*ak=lg(k+2)/lg2为整数，设为c，
即lg(k+2)/lg2=c log2(k+2)=c(由对数换底公式得的）
则k=2^c-2，k属于[1,2012]，所以可以得到c的范围[2，10]，
因为2^10-2=1022<2012，2^11-2>2012,所以最后问题归结为求数列bn=2^n-2的和，其中n范围是[2,10]，由等比数列公式可以得到希望数的和=（2^2-2)+(2^3-2)+........+(2^10-2)
4(1+2^2+....+2^8)=4*(2^9-1)/(2-1)-2*9=2026