Question

关于导数求函数最值的问题！！数学高手帮帮忙！！！

求下列函数在指定区间中的最大最小值
y=x/(1+x^2) [-∞，+∞]
y=根号(x)lnx [1/4,1]
y=x^2e^-x [-4,4] 然后帮我总结下求解的一般步骤和方法！谢谢了！！

Answer 1

y = x/(1 + x²)
y' = [(1 + x²) - (2x²)]/(x² + 1)² = (1 - x²)/(x² + 1)²
y' = 0 => 1 - x² = 0 => x = ±1
x<-1，x = -1，-1<x<1，x = 1，1<x
f'(x) ↓ 0 ↑ 0 ↓
f(x) 单减 极小值 单增 极大值 单减
所以y = f(x)在(-∞，+∞)上的最小值为f(-1) = -1/2
最大值为f(1) = 1/2
__________________________________________
y = √x • lnx
y' = 1/2√x • lnx + √x • 1/x = (lnx + 2)/(2√x)
y' = 0 => lnx + 2 = 0 => lnx = - 2 => x = 1/e²
y'' = - lnx/[4x^(3/2)]，y''|(1/e²) > 0，取得极小值f(1/e²) = - 2/e
f(1/4) = - ln2，f(1) = 0
最小值为- 2/e，最大值为0
______________________________
y = x²e^-x
y' = e^-x • 2x + x² • e^-x • (-1) = x(2 - x)e^-x
y' = 0 => x = 0 或 x = 2
x<0，x = 0，0<x<2，x = 2，2<x
f'(x) ↓ 0 ↑ 0 ↓
f(x) 单减 极小值 单增 极大值 单减
极小值f(0) = 0，极大值f(2) = 4/e²
f(-4) = 16e⁴，f(4) = 16/e⁴
最小值为0，最大值为16e⁴

追问

f(1/4) = - ln2 这个是怎么计算的呢！麻烦赐教！

追答

f(1/4)，带进方程就是嘛
= √(1/4) • ln(1/4)
= 1/2 • (- 2ln2)
= - ln2

追问

哎，我基础不好，ln(1/4) 是不是有什么公式才变成 -2ln2

追答

额，对数公式
ln(A^B) = B • lnA
那么ln(A^(-1)) = -1 • lnA
ln(1/4) = ln(1/2²) = ln[(2²)^(-1)] = ln[2^(2 * -1)] = ln[2^(-2)] = (-2)ln(2)