Question

求参数方程x=根号下1+t,y=根号下1-t 的二阶导数

请说一下详细步骤，主要是结果。。。谢啦

Answer 1

x=√(1+t)
y=√(1-t)
x²=1+t
y²=1-t
x²+y²=1 (1)
(1)式两边对x求导： 2x+2yy'(x)=0
y'(x)=-x/y (2) //: y'(x)=-x/y(x)
对(2)两边对x求导：y''(x)=-(y-xy')/y²(x)
y''(x)=-[y-x(-x/y)]/y²=-(y+x²/y)/y²
=-(y+x²/y)/y²=-(x²+y²)/y³
y''(x)= -1/y³ (3)
若将 y''(x) 写成x的函数： //: 利用(1)式，得到：
y''(x)=-1/[(1-x²)^(3/2) (4)

Answer 2

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)
=[-(1/2)*(1/√(1-t))] / [(1/2)*(1/√(1+t))]
=-√(1+t)/√(1-t)=-√(1-t²)/(1-t)

d²y/dx²=-[√(1-t²)/(1-t)]'/(dx/dt)
=-[√(1-t²)/(1-t)]' / [(1/2)*(1/√(1+t))]
=-1/[2√[(1+t)(1-t²)]*(1-t)]

追问

我算了半天，一阶导数倒是跟你一样，二阶导数怎么算都不一样呀？？我的结果是(t+3)*根号下(1-t)/(1-t)^2

追答

咱们俩好象算的都不对，这种题计算太麻烦了。
下面是我用数学软件算的
http://hiphotos.baidu.com/qingshi0902/pic/item/f5189201b912c8fc765d7a75fc039245d7882105.jpg
其中第一行是-√(1-t²)/(1-t)对t求导，第二行是除以dx/dt，第三行是化简。

另外说一下，楼下做的是对的，就本题而言其实楼下的做法更简单。不过楼下的方法不具有一般性，因为参数方程并不是总能化为隐函数的。

追问

什么数学软件呐，很好用呀。。。。