Question

（2014?闵行区二模）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、O

（2014?闵行区二模）已知：如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A（1，2），过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵Rt△AOB≌Rt△COD，
∴AB=OD，OB=CD，
∴点A（1，2），
∴OD=AB=2，OB=CD=1，
∴C（2，1），
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），
∴可得c=0，
∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A，C，
∴

a+b＝2 4a+2b＝1

，
解得

a＝? 3 2 b＝ 7 2

，
∴抛物线解析式为y=-

3

2

x²+

7

2

x，
∴对称轴是直线x=

7

6

，顶点坐标为（

7

6

，

49

24

）；
（2）存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形，理由如下：
设点P的横坐标为t，
∵PN∥CD，
∴△OPN∽△OCD，
可得PN=

t

2

，∴P（t，

t

2

），
∵点M在抛物线上，
∴M（t，-

3

2

t²+

7

2

t），
过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
AG=y_A-y_M=2-（-

3

2

t²+

7

2

t）=

3

2

t²-