Question

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC∠ACB的平分线交于O点，试说明∠BOC=12∠A+90°；（2）如图2，若O为△ABC两

（1）如图1，在△ABC中，∠ABC∠ACB的平分线交于O点，试说明∠BOC=12∠A+90°；（2）如图2，若O为△ABC两外角平分线的交点，（1）中的关系式是否成立？若不成立，∠BOC与∠A又有怎样的关系？（无需说明理由）（3）仿照（1）和（2），你能提出一个新问题并解决它吗？试一试！

Answer 1

（1）∠BOC=

1

2

∠A+90．
如图：∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=

1

2

∠A+90°；

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，
∵O为△ABC两外角平分线的交点，
∴

1

2

∠DBC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACB，
同理可得：∴

1

2

∠BCE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，
∴

1

2

（∠ACB+∠ABC）=90°-

1

2

∠A，
∵180°-∠BOC=

1

2

∠DBC+

1

2

∠BCE=

1

2

∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴180°-∠BOC=∠A+

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
180°-∠BOC=∠A+90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=90°-

1

2

∠A；

（3）如图，若O为∠ABC和∠ACB外角的平分线BO，CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？

答：∠BOC=

1

2

∠A．
证明：∵∠A+∠ABC=∠ACE．
∵∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∵∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
由以上各式可推得∠BOC=

1

2

∠A．