Question

若关于X的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根X1、X2满足

若关于X的方程x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1=0的两个实数根X1、X2满足X1 ≤0≤X2 ≤ 1，则a²+b²+4a的最小值和最大值分别是什么？

Answer 1

令f(x)=x²-（a²+b²-6b）x+a²+b²+2a-4b+1

则f(0)≤0,f(1)≥0

即a²+b²+2a-4b+1≤0,a+b+1≥0

绘出符合题意的(a,b)的平面区域，如图所示

a²+b²+4a=(a+2)²+b²-4

又点(-2,0)到平面区域（即弓形）的最短距离为到直线x+y+1=0的距离d1= √2/2

最大距离为点(-2,0)到圆心(-1,2)的距离加上半径d2= √5+2

所以a²+b²+4a的最小值为(√2/2)²-4=-7/2

最大值为(√5+2)²-4=5+4√5