Question

高中数学不等式求证

已知x,y,z∈(2,4) 求证 1/根号下(x-2)(4-y) +1/根号下(y-2)(4-z)+1/根号下(z-2)(4-x)大于等于3

Answer 1

证明：∵x,y,z∈(2,4) ∴x-2>0,y-2>0,z-2>0;4-y>0,4-z>0,4-x>0;
∴√(x-2)(4-y)+1/√(x-2)(4-y)≥2; √(y-2)(4-z)+1/√(y-2)(4-z)≥2;√(z-2)(4-x)+1/√(z-2)(4-x)≥2
以上三式相加得√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)+1/√(x-2)(4-y)+1/√(y-2)(4-z)+1/√(z-2)(4-x)≥6
即：1/√(x-2)(4-y)+1/√(y-2)(4-z)+1/√(z-2)(4-x)≥6-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]
∵√(x-2)(4-y)≤[(x-2)+(4-y)]/2=(x-y+2)/2;
同理：√(y-2)(4-z)≤(y-z+2)/2;√(z-2)(4-x)≤(z-x+2)/2
∴√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)≤(x-y+2)/2+(y-z+2)/2+(z-x+2)/2=3
则：-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]≥-3;
6-[√(x-2)(4-y)+√(y-2)(4-z)+√(z-2)(4-x)]≥6-3=3
所以原不等式成立！

Answer 2

根号下(ab)<=(a+b)/2 （1） （a,b,c,>=0）
三次根号下(abc)<=(a+b+c)/3 （2）

原式由（2）有：原式>=3/三次根号下(6项的乘积)
由式（1）注意到：(x-2)*(4-x)<=(（x-2+4-x）/2)^2=1,同样对y,z也是这样
于是3/三次根号下(6项的乘积)>=3 (需要强调每个因式都是>0得)

然后2次利用的不等式恰好在x=y=z=3时同时取到等号
所以原式>=3
（2次利用不等式，有时候不能同时取到等号，那样会更加复杂，有时候需要变形，再做处理，这里的题目比较特殊，比较简单。）

Answer 3

解：设f(x)=(x-2)(4-x) 2<x<4 则maxf(x)=f(3)=1 则1/sqrt(f(x))>=1 即可得证