Question

已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x 0 ，使得f（x 0 +1）=f（x

已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x 0 ，使得f（x 0 +1）=f（x 0 ）+f（1）成立．（1）指出函数f（x）= 1 x 是否属于M，并说明理由；（2）设函数f（x）=lg a x 2 +1 属于M，求实数a的取值范围．

Answer 1

：（1）若f（x）= 1 x 属于M，则存在x 0 ∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得 1 x 0 +1 = 1 x 0 +1， 则x 0 2 +x 0 +1=0，因为方程x 0 2 +x 0 +1=0无解，所以f（x）= 1 x 不属于M （2）由f（x）=lg a x 2 +1 属于M知，有lg a (x+1) 2 +1 =lg a x 2 +1 +lg a 2 有解， 即（a-2）x 2 +2ax+2（a-1）=0有解； 当a=2时，x=- 1 2 ； 当a≠2时，由△≥0，得a 2 -6a+4≤0，得a∈[3- 5 ，2]∪（2，3+ 5 ]， 又因为对数的真数大于0， 所以a＞0 所以a∈[3- 5 ，，3+ 5 ]