Question

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．（1）求证：PB=3PF

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，P是AD的中点，延长BP交AC于点F．（1）求证：PB=3PF；（2）如果AC的长为13，求AF的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图所示，过D点作DE∥BF，交AC于E，
因为AB=AC，AD为△ABC的高，
所以根据等腰三角形的三线合一得D为BC的中点，
所以DE=

1

2

BF．
同理，因为P为AD的中点
所以PF=

1

2

DE，即PF=

1

4

BF，所以BP=3PF．

（2）由（1）得：PF、DE分别是DE、BF的中位线，
∴AF=EF，CE=EF．
∴AC=AF+EF+CE=3AF．
∵AC=13，
∴AF=

13

3

．