Question

判断函数f（x）=x2-2在（0，+∞）上的单调性，并证明

判断函数f（x）=x2-2在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

函数f（x）=x²-2在（0，+∞）上单调递增，证明如下：
设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2-（x₂²-2）=（x₁-x₂）（x₁+x₂）
因为x₁，x₂∈（0，+∞），所以 x₁+x₂＞0
又因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0
所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）＜0    
所以f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）=x²-2在（0，+∞）上单调递增．

Answer 2

判断并证明函数的单调性一般有两种方法：
①定义法，在定义域内任选两数，本题令0<x₁<x₂
然后判断f(x₁)和f(x₂)的大小，f(x₁)<f(x₂),f(x)单调递增，反之则单调递减。
本题：f(x₁)-f(x₂)=x₁²-2-x₂²+2=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)(x₁+x₂)
∵(x₁-x₂)<0,(x₁+x₂)>0
∴f(x₁)-f(x₂)<0→f(x₁)<f(x₂)
即f(x)=x²-2 当x∈(0,+∞)单调递增。
②导数法，通过导函数来判断,判定方法：设函数f(x)在某个区间内可导，如果f'(x)＞0，则 f(x)为增函数；如果f'(x)＜0，则f(x)为减函数
本题：f'(x)=2x
求出驻点：一阶导函数的值为0的点，函数增减性有变化的点必定是驻点（反之不然）。
本题：2x=0→x₀=0
∵x>x₀=0时，f'(x)=2x>0
∴f(x)=x²-2 当x∈(0,+∞)单调递增。
实际运用中，以第二种方法为主，可以明确求出函数增减改变的点的位置，方便确定函数的单调增减区间以及极值点的性质（驻点左增右减为极大值点，反之为极小值点）