如图为函数f（x）=x（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、
如图为函数f（x）=x（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），设△PQN的面积为S=g（t）．（...
如图为函数f（x）=x（0＜x＜1）的图象，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与y轴和直线y=1分别交于点P、Q，点N（0，1），设△PQN的面积为S=g（t）．（Ⅰ）求g（t）的表达式；（Ⅱ）若g（t）在区间（m，n）上单调递增，求n的最大值；（Ⅲ）若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，求b的取值范围．
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解答：
解：（Ⅰ）f'（x）=
x?
＝
，M(t，
)，
∴点M处的切线方程为y-
＝
(x?t)， ∴P(0，
)，Q(2
?t，1)，
又∵S△PQN=
|PN|?|QN|=
（1-
）（2
-1）=
+
-t，
∴g（t）=
+
-t，0＜t＜1；
（Ⅱ）g（t）=
+
?t，0＜t＜1则g′(t)＝
+
-1，
由g′（t）＞0得，3t-8
+4＞0，即
＜
或
＞2（舍去），
∴0＜t＜
时，g（t）单调递增，∴n的最大值是
解：（Ⅰ）f'（x）=| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 | ||
2
|
| t |
∴点M处的切线方程为y-
| t |
| 1 | ||
2
|
| ||
| 2 |
| t |
又∵S△PQN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| t |
| t |
| t |
t
| ||
| 4 |
∴g（t）=
| t |
t
| ||
| 4 |
（Ⅱ）g（t）=
| t |
t
| ||
| 4 |
| 3 |
| 8 |
| t |
| 1 | ||
2
|
由g′（t）＞0得，3t-8
| t |
| t |
| 2 |
| 3 |
| t |
∴0＜t＜
| 4 |
| 9 |
