Question

在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+1)-an=an-a(n-1)

在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,a(n+1)-an=an-a(n-1),n∈N*,n≥2,则an的通向公式为？

Answer 1

a(n+1)-an=an-a(n-1)
[a(n+1)-an]/[an-a(n-1)]=1
所以an-a(n-1)是以1为公比为等比数列
an-a(n-1)=(a2-a1)q^(n-1)
an-a(n-1)=2^(n-1)

an-a(n-1)=2^(n-1)
..........
a3-a2=2^2
a2-a1=2^1
以上等式相加得
an-a1=2^1+2^2+......+2^(n-1)
an-a1=2*[1-2^(n-1)]/(1-2)
an-1=2^n-2
an=2^n-1

Answer 2

a(n+1)-an=an-a(n-1) 说明该数列是个等差数列，
则公差=a2-a1=3-1=2,首项为1
an=1+(n-1)x2=2n-1

追问

那是用累加、累乘法做吗？

追答

后面两项之差a(n+1)-an等于前面两项之差an-a(n-1)，不就说明是个等差数列吗？

Answer 3

因为a(n+1)-an=an-a(n-1)
2an=a（n+1）+a（n-1）
所以知该数列为等差数列
an=a1+（n-1）d
an=2n-1