Question

已知：二次函数y=ax 2 +bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a

已知：二次函数y=ax 2 +bx-2的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，-b），其中a＞b＞0且a、b为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1 、x 2 ，求|x 1 -x 2 |的范围．

Answer 1

（1）∵一次函数过原点， ∴设一次函数的解析式为y=kx； ∵一次函数过（1，-b）， ∴y=-bx．（3分） （2）∵y=ax 2 +bx-2过（1，0），即a+b=2，（4分） ∴b=2-a． 由 y=-bx y=a x 2 +bx-2 ，得：（5分） ax 2 +bx-2=-bx， ∴ax 2 +（2-a）x-2=-（2-a）x， ∴ax 2 +2（2-a）x-2=0①； ∵△=4（2-a） 2 +8a=16-16a+4a 2 +8a=4（a 2 -2a+1）+12=4（a-1） 2 +12＞0， ∴方程①有两个不相等的实数根， ∴方程组有两组不同的解， ∴两函数图象有两个不同的交点．（6分） （3）∵两交点的横坐标x 1 、x 2 分别是方程①的解， ∴x 1 +x 2 =- b a ，∴x 1 +x 2 =- 2(a-2) a ， x 1 x 2 = -2 a ； ∴ | x 1 - x 2 |= ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = 4 a 2 -8a+16 a 2 = ( 4 a -1) 2 +3 ； （或由求根公式得出）（8分） ∵a＞b＞0，a+b=2， ∴2＞a＞1； 令函数 y=( 4 a -1 ) 2 +3 ， ∵在1＜a＜2时，y随a增大而减小． ∴ 4＜( 4 a -1 ) 2 +3＜12 ；（9分） ∴ 2＜ ( 4 a -1) 2 +3 ＜2 3 ， ∴ 2＜| x 1 - x 2 |＜2 3 ．（10分）