Question

如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，A

如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确的结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

Answer 1

D

试题分析：首先根据等边三角形的性质，得到BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠BCD=60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD=∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF=CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确． ∵△ABC和△DCE均是等边三角形， ∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°， ∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE=BD，（①正确） ∠CBD=∠CAE， ∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC， ∴△BCF≌△ACG（ASA）， ∴AG=BF，（②正确） 同理：△DFC≌△EGC（ASA）， ∴CF=CG， ∴△CFG是等边三角形， ∴∠CFG=∠FCB=60°， ∴FG∥BE，（③正确） 过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N， ∵△BCD≌△ACE， ∴∠BDC=∠AEC， ∵CD=CE，∠CND=∠CMA=90°， ∴△CDN≌△CEM， ∴CM=CN， ∵CM⊥AE，CN⊥BD， ∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL） ∴∠BOC=∠EOC， ∴④正确； 正确的有①②③④共4个． 故选D. 点评：解答本题的关键是仔细识图，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，合理应用数形结合思想．